Если сравнить бутылку Клейна с листом Мёбиуса, то можно обнаружить, что свойства этих двух фигур одинаковы. Значит бутылка Клейна является топологическим объектом. А, следовательно, обладает топологическими свойствами.

​

1.  Хроматический номер.  Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если эти области покрасить разными цветами, то каждый цвет должен соседствовать с любым другим. Для бутылки Клейна, как и для листа Мёбиуса, хроматический номер равен 6. Есть старинная задача. Надо соединить три дома с тремя колодцами, но так, чтобы жители каждого из домов могли ходить по во­ду в любой колодец и при этом пути их нигде не пересе­кались.

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Задача оказалась неразрешимой. Но, если склеить эту полоску бумаги так, чтобы совпали одинаковые буквы на её краях, то проблема водоснабжения решается. Ну, а если раскрасить карту путей водовозов, то получим шесть разноцветных, соседних областей.

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Что касается бутылки Клейна, то действия происходят не на бутылке, а внутри неё. То есть, краски должны проникать сквозь бумагу, как чернила сквозь промокашку.

​

2.  Непрерывность.  Если сравнить схему самолётных маршрутов и географическую карту, то можно убедиться, что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан. Например, Екатеринбург может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И всё-таки что-то общее с географической картой есть. Москва действительно связана с Екатеринбургом, а Екатеринбург с Владивостоком. И поэтому тополог может как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше.

​

3.  Ориентированность.

Это то, чего нет у бутылки Клейна. Представим себе, что в ней заключён целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели – не симметричные рожицы, не имеющие никакой толщины (как и сама бутылка). Если эти создания пропутешествуют по всем изгибам бутылки и вернутся в родные пенаты, то в изумлении обнаружат, что превратились в своё собственное зеркальное отображение. Но это всё может произойти, если они живут в бутылке, а не на ней.

​

​

Сравнительная характеристика

Бутылка Клейна       Лист Мёбиуса

Общие свойства

1.  Непрерывность

2.  Односторонность

3.  Хроматический номер

4.  Отсутствие ориентированности

Различия

 

Края нет             Край есть